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    [LV.1]初来乍到

    tom_lv1 发表于 2020-9-16 11:47:35 |显示全部楼层

                 期权价格与剩余时间及行权价格的关系

                           于德浩

                          2020.9.16

    先看一下市场数据。当前标的正股50ETF股价是3.367元。平值期权购10月3400,剩余42天,价格是0.0767元。电脑端行情软件显示,历史波动率28.36%,(估计是最近40个交易日?);隐含波动率18.38%,这是根据BS期权定价公式反推的。Delta=0.499,Gamma=1.217,Vega=0.461,Rho=0.183,Theta=-0.617,理论价格=0.1227。

    其他信息,期权类别认购 欧式;行权价 3.4000;合约单位 10000份;上市日期2020-08-27,到期日期2020-10-28。内在价值0,时间价值 0.0767元,溢价率%  3.26;杠杆比率 43.90。 计算溢价率=(3.4-3.367+0.0767)/3.367=0.03258。计算杠杆比率3.367/0.0767=43.8983。 计算真实杠杆率=杠杆比率*Delta=43.9*0.4942=21.7。

    再看一下,手机端软件显示。 购3400,剩余42天,价格0.0767元。隐含波动率0.1877,时间价值0.0767, 杠杆率43.90,真实杠杆率21.69。Delta=0.4942,Gamma=1.2069,Vega=0.4610,Rho=0.1817,Theta=-0.6056。 与电脑端软件一致。

    再看一下微信公众号《爱期权》的数据。20日历史波动率是16.4%,平值期权当前隐含波动率22.5%,这个反推的隐波要明显偏大;skew=0.6%。

    再对比一下认沽期权。平值沽10月3300,剩余42天,价格是0.0757元/份。电脑端软件,历史波动率28.36%,隐含波动率24.64%(这比认购要贵不少)。Delta=-0.381,Gamma=1.163,Vega=0.440,Rho=-0.162,Theta=-0.475,理论价格=0.0920。

    虚值认购期权剩余42天的购3500-3800,价格依次递减,是0.0449元,0.0256元,0.0144元,0.0088元/份。隐含波动率也依次升高,依次是19.54%,20.60%,21.61%,23.31%。

    中长期认购期权合约,剩余98天。购12月3300-3900,价格依次是0.1770元,0.1319元,0.0963元,0.0712元,0.0520元,0.0391元,0.0296元。隐波也依次上升,是17.24%,18.61%,19.68%,20.65%,21.51%,22.55%,23.52%。

    我们可以用Excel软件统计50ETF股票价格最近40个交易日的收盘日涨幅平均值及标准差,2020.7.22-9.15日涨幅平均值是+0.035%,日涨幅的标准差1.187%;年化波动率就是256^0.5*1.187%=18.99%。

    一般统计2020.8.19-9.15最近20个交易日,日涨幅平均值是-0.0625%,日涨幅标准差是1.087%;最近20日年化波动率就是16*1.087%=17.39%。 这与当前期权的隐含波动率0.19差不多,与《爱期权》的0.16也差不多。我真不知道电脑端软件的0.28历史波动率是怎么统计的。客观的说,当前的波动率在年化20%附近,属于一般正常,不算高估也不算低估。

    期权价格与剩余时间的关系是与t^0.5成正比。 这个好理解,就是整体的方差是局部方差之和。比方说,剩余42天的3400平值认购期权价格是0.0767元,那么可以推出剩余98天的理论价格应该是0.0767*(98/42)^0.5=0.1172元;实际价格是0.1319元,大约有10%的误差。

    平值期权的价格与标的正股的占比x,大约是一个周期的波动率一半,即x=0.5A。比方说,股价一个月的波动率是6%,当前股价是3.0元,那么剩余30天的平值期权的价格x=0.5*6%=3%,即大约0.09元/份。这里,平值认购期权和认沽期权的价格是对称相等的。

    这里有一个简单模型。假设股价末态只有两个量子态,要么上涨到+1X处,要么下跌到-1X处,各有50%概率。盈亏平衡原则,对于认购期权卖方来言,先得到x的权利金盈利,他有50%的概率在+1X处亏损A,所以x=0.5A。对于买方来言,他有50%的概率亏损x,有50%概率盈利(A-x),即0.5x=0.5(A-x),同样可以解得x=0.5A。

    在当前实际案例,正股价格是3.367元,购3400可看成是平值认购,实际价格是0.0767元;沽3300可看成是平值认沽期权,实际价格是0.0757元。两者价格几乎相等。这个理论计算过程是,最近20个交易日的日涨幅标准差是1.087%,那么剩余42天的一个周期的标准差大约是(42-2*6)^0.5*1.087%=6%,那么平值行权价=3.367的价格应该是3.367*0.5*6%=0.1元。而标准化合约购3400,属于相对虚值,价格大约要低0.033-0.016元,因此,理论估计价大约是0.1-0.025=0.075元。这与实际价格0.0767差不多。

    对于标准差化沽3300,这也属于相对虚值认沽期权,价格大约要低0.067-0.034元,理论估计大约是0.1-0.05=0.05元。而实际认沽价格是0.0757元,这应该说明认沽期权价格偏贵,可能与最近市场行情弱势有关。

    我们观察一下剩余98天的认购期权,购3300实值期权价格是0.1770,当行权价减少0.1元时,购3400的价格是0.1319,大约仅减少了1/2约0.05元。 虚值购3500价格是0.0963元,大约只降低了0.035元,只减少了1/3;而虚值3600价格是0.0712元,降低了0.025元,约1/4。 也就是说,虚值认购期权的性价比实际是更小的。人们应该理性购买平值或实值期权,即使看涨行情。

    在市场中性条件假设下,股价上涨到+1X的概率与下跌到-1X的概率都是对称相等的,按照正态分布,就是各16%的概率,两者之比是1:1,所以,简化到仅2个量子态时,就是各50%的概率。

    而当要去购买虚值期权时,这两个量子态就变成-0.5X与+1.5X,这就是0.31/0.07=4.4/1,也就是行权的胜率大约只有0.07/0.38=30%。这时对于买方的盈亏平衡方程就是0.82x=0.18(1.5A-x),这就可以解得x=0.27A。就是说,虚一认购期权大约是平值认购期权价格的55%。举例,平值购3000,剩余30天,月波动率6%的价格是0.09元;那么虚一购3100的价格大约是0.09*0.55=0.0495元。这就是我们看到的,行权价格增加0.1元,而虚值期权价格仅减少了约一半0.05元。

    再看虚二认购3200期权价格会是多少。此时两个简化的量子态就是0X与+2X,概率比是0.5/0.023=22倍。0.956x=0.044(2A-x),解得x=0.088A。这个理论价格就是3.0*0.088*6%=0.0158元。就是说,行权价再提升0.1元时,虚值认购期权价格降低了0.0495-0.0158=0.03元,降低了1/3。

    再看看深度虚值3300的价格计算。这两个简化的量子态时+0.5X与+2.5X,行权的胜率仅仅是0.0062/(0.0062+0.6915)=0.0089。盈亏方程0.9911x=0.0089(2.5A-x),解得x=0.022。剩余30天的深度虚值期权的价格是3.0*0.022*6%=0.0040。行权价再提升0.1元,价格降低0.0158-0.0040=0.0118元,仅降低12%,比实际的1/4还要低。这是因为,股价日涨幅分布不是严格的正态分布,有翘尾效应。

    从上面的计算来看,如果是看涨行情,也应该买入平值认购期权,不能买虚值期权。因为,深度虚值期权的胜率(行权成功率)很低。只是我们容易被表象迷惑,当股价某天大幅上涨时,虚值期权的跟随涨幅会更大,就诱使我们去买虚值期权,“好不容易猜对一次,为什么只赚平值的+30%,而不是虚值的+90%呢?”我们更要知道,当标的正股下跌或震荡不涨时,虚值期权的跌幅也更大啊。

    当前,50ETF股价是3.359元,剩余98天的平值认购3400期权价格是0.1212元,虚值3700的价格是0.0488元。假设股价3个月后大涨+30%,价格涨为4.3元,那么平值期权就是0.9/0.1212=7倍收益;虚值期权是0.6/0.05=12倍收益。 可是,如果股价只是上涨了一半预期即0.45元,那么平值期权是0.45/0.1212=4倍,而虚值只是0.15/0.05=3倍收益。从最后的长远的收益性价比看,其实中长期平值认购期权要更好。其实倘若能够在7倍获利时止盈,也已经很好了。



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