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    [LV.5]常住居民I

    ieconomy 发表于 2020-8-1 20:30:26 |显示全部楼层

    这学期全程线上网课,确实是个全新的体验,不过每周对着电脑看视频板书,是在是个累人的活,而且线上教学的作业量也是惊人的多。。。交完最后一次作业后,终于有时间系统的看书了(爽)


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    最近断断续续地看完了Hamilton的权威巨著Time Series Analysis的上部,对时间序列分析的内容也算是深入理解了一些。首先感慨下这本书编写的体系是真好,硬着头皮看完才知道每一章的安排都是精心设计的,其中第四章线性预测以及第六章谱分析更是精彩,作者用简单的语言以及数学推导就把泛函分析里面Hilbert空间线性投影的性质以及傅立叶分析的精华写了出来,功力可见一斑。好的教材就是这样,上来就给复杂符号及推导的,大概率作者自己也没消化清楚。。。下面我就结合着教材,以及自己查阅其他资料后的体会,简单分享下Time Series Analysis的学习心得。




    Time Series Analysis究竟有什么用?这里想引用下Hamilton在书中Preface里开篇的第一句话“Much of economics is concerned with modeling dynamics. There has been an explosion of research in this area in the last decade, as “time series econometrics” has practically come to be synonymous with “empirical macroeconomics.””。实际上时间序列分析的发展与宏观经济学的发展是密不可分的。自凯恩斯提出通论以来,宏观经济学家及各国央行就通过试图将各经济变量建立复杂的方程组,通过经济数据预测并制定经济政策,因此联立方程组的方法变得非常流行。但是对于经济问题,寻找有效的工具变量往往非常困难,及时微弱的相关性也会使得估计结果误差很大。而Lucas critique对于这种分析方式又给了致命一击,缺乏微观基础使得经济学家迫切的需要新的分析工具。而VAR模型可以不通过结构方程,利用历史信息来反映经济变量的动态影响,采用数据驱动建模的方法,取得了巨大成功。特别是Sims(1980)的那篇文章堪称VAR在宏观领域应用的milestone。Structural VAR又修正了VAR模型缺乏经济学基础的缺陷,将一定的基于经济、金融理论的变量结构加入VAR模型。可以说时间序列分析与宏观经济是密不可分的,甚至有一段时间国内大部分的硕博论文也都运用VAR模型(现在貌似少一点了)。




    接下来说说Hamilton书里的内容吧。上册基本都是用来分析AR,MA和ARMA三种模型,目的无非是用来参数估计以及对未来的预测。分析的都是平稳遍历的时间序列,因为这类时间序列具有良好的性质(可逆性),预测效果好,这一点在第四章预测里面有详细的分析和论证。这里打个岔,根据Box-Jenkins的理论,不是模型越复杂,模型里参数越多,估计出来的结果越接近真实值。相反,简单的模型得出的预测结果往往更好。这一点也不难理解,大道至简,估计效果最好的是near future的数据。如果让你建立个复杂模型去估计一个月后的天气,那预测效果甚至可能不如抛硬币预测的准。




    开始的几章,作者是通过时域分析来进行的,其中夹杂了部分谱分析的表达。第六章开始,作者正式介绍了谱分析,我觉得是这本书里另外一个精彩的地方。谱分析又叫频域分析,主要应用于信号分析里面(本身时间序列就起源于信号分析的应用,所以工科的同学经常好奇为啥搞经济的还看时间序列以及随机过程。。。。。)。谱理论涉及到部分泛函分析以及复变函数的内容,但是如果不懂也不影响对于它的理解。其实对于任何一个波,又两种方式来描述。一种是根据时间来描述,一种是根据波的频率来描述。假设建立一个三维的坐标系,x轴代表时间,y轴代表频率,z轴代表波的振动幅度,那么任何一个波都可以分解成在y轴不同频率波的加总(需要一点简单的傅立叶分解的知识,just a little)。所以描述一个波,即可以从时间角度来描述,也可以从频率角度来描述,谱分析就是从频率角度来描述的。这么描述有什么好处呢?某些角度上分析将变得非常简单!举个栗子,一首钢琴曲子的时域表达是声波,而频域表达则是钢琴曲谱。具体而言,只要有了平稳过程的协方差序列,总体谱就可以完整的表达出来,简洁明了(细节我就不写了,大家可以在书里面对比一下两种分析的代数表达式)。有意思的一点是,对于任意绝对可和的协方差平稳过程,可以通过以下形式来表示:

    图片1.png

    其中

    图片2.png

    这正是Hilbert空间向量的一组正交基。因此投影预测就是最佳预测!(妙啊!)




    时间序列的另一项重要工作就是进行参数估计。书中提到了极大似然估计法和贝叶斯分析法,这也对应了两大分析流派,频率学派和贝叶斯流派,两者的关系类似于华山派的气宗与剑宗,江湖论剑不休。频率学派坚持存在客观的先验分布,随着频率次数的增大会不断趋近客观分布。而贝叶斯学派则认为,先验分布可以是主观的,根据某个prior belief,通过大量观察来修正得到posterior belief。频率学派可以理解为开了上帝视角,而贝叶斯学派则是我思故我在,两者都有一定的哲学基础。但是贝叶斯分析更契合人类观察事物的角度。这也就引出了Kalman滤波的方法。举个栗子,我们需要估计火箭发动机内部的温度,用来控制燃料的消耗以及维持推力,但是由于内部温度很高,没有办法内置一个温度计进行度量。这时候我们采取一种变通的方法,通过测量外置温度计的温度,利用Kalman滤波来计算内部温度的最优估算值。通过不断地修正,就得到了posterior的温度。




    最后说一下涉及的数学知识吧。其实对于Hamilton的Time Series来说,只需要懂得一点点的矩阵代数以及概率统计的知识就够用了,至于泛函分析和复变函数的内容,不懂真的不影响阅读。但是一但你学习了泛函分析及复变函数的内容,理解会上升一个层次。“参禅之初,看山是山,看水是水;禅有悟时,看山不是山,看水不是水;禅中彻悟,看山仍是山,看水仍是水。”预测其实就是Hilbert空间的线性投影,谱分析就是傅立叶分解的应用。。。。凡此种种,皆为虚妄。时间序列分析也在不断的发展,像机器学习等方法也在不断地修正预测的准确性。但是技术的发展也只是让我们对near future看的更加清楚一点点,塔罗牌是预测,水晶球是预测,时间序列也是预测,本质上并没有不同。鱼缸里的金鱼就算准确预测出饲养员换水的周期,并不代表这是上帝的规律。对于代表对变幻莫测的未来,仍需抱有谦虚的态度和敬仰的心。


    End!





    stata SPSS
    financephd 发表于 2020-8-4 10:42:54 |显示全部楼层
    很不错的分项,赞一个!
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    linweiphilo 发表于 2020-8-5 11:31:58 |显示全部楼层
    写得不错,赞!
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    GMT+8, 2020-8-8 11:54